MATERIA: Elementi di Statistica
Classe di riferimento:
L'Unità Didattica è rivolta alla IVa classe di un Istituto Tecnico Commerciale.
Ubicazione nel piano annuale:
Primo Quadrimestre dell'anno scolastico.
PREREQUISITI:
Calcolo aritmetico e algebrico
Operare con le potenze
Concetti base di statistica: terminologia, tipologia dati e variabili,distribuzioni di frequenza, tipologia di frequenze.
Saper operare in Excel
FINALITA'
Interpretare il concetto di tendenza centrale
Saper scegliere la tipologia di media più idonea alla risoluzione del problema considerato
Saper calcolare le diverse tipologie di medie a seconda dei dati forniti dal problema
MODALITA' E TEMPI DI SVOLGIMENTO:
Fase I:(1h)
Presentazione delle medie di calcolo;
Presentazione delle medie di posizione;
Risoluzione di alcuni esercizi alla lavagna
Fase II:(1h)
Fase III: (1,30h)
- Verifica sommativa sull'intero modulo.
Fase IV: (1h)
CONTENUTI
La prima fase prende avvio spiegando agli studenti che, fatta la rilevazione dei dati, è necessario sintetizzare la distribuzione mediante valori che la caratterizzano e permettono di confrontarla con distribuzioni di fenomeni analoghi osservati in tempi o in luoghi diversi. Uno di questi valori è dato da un valore medio che esprime una tendenza centrale.
In statistica si distinguono solitamente due tipi di medie:
Medie di calcolo: sono quelle che soddisfano una condizione di invarianza e che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione;
Medie di posizione: sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori.
Cominciamo a considerare il caso di un carattere quantitativo discreto X. In questo caso è possibile parlare di medie di una distribuzione.
Seguendo A.L. Cauchy (Cours d'analyse de l'Ecole pol., 1° parte, 1821) diremo che la media di un insieme è un qualsiasi valore compreso fra il minimo e il massimo; è chiaro che si possono avere molti tipi di medie.
Una definizione rigorosa e operativa limitata alle medie di calcolo è la definizione di media di Chisini (1929):
Dato un insieme di valori x1, x2,…, xn, ed una funzione criterio f, si definisce Media dei valori x1, x2,…, xn secondo il criterio f quel valore M tale che
f(x1, x2,…, xn )=f(M,M,…,M)
Es. se f(x1, x2,…, xn)=Si xi , M rappresenta il valore che, sostituito ai singoli valori, mantiene inalterato il totale. Ne segue che
f(x1, x2,…, xn)=Si xi = Si M = n M
da cui
M = Si xi /n
ovvero la media aritmetica semplice.
Es. : i numeri di scarpa di 20 studenti maschi sono riportati di seguito
38,40,45,42,42,39,41,43,42,41,46,40,42,41,42,42,40,41,42,42
La media aritmetica è
m = Si xi /20= 831/20=41,55
Nel caso delle distribuzioni di frequenza, gli stessi dati potrebbero essere organizzati per frequenze, ovvero:
Numero di scarpa | Frequenza |
38 | 1 |
39 | 1 |
40 | 3 |
41 | 4 |
42 | 8 |
43 | 1 |
45 | 1 |
46 | 1 |
Totale | 20 |
Si può allora calcolare la media aritmetica ponderata come:
m = (38 x1 + 39 x1 + 40 x3+ 41 x4 + 42 x8 + 43 x1 + 45 x1 + 46 x1)/20= 41,55
In generale, dati i seguenti valori:
x1, x2,…, xi,...,xk
n1, n2,…, ni,...,nk
la media aritmetica ponderata è
m=Si xi ni / Si ni =Si xi fi
Proprietà della media aritmetica
Internalità ovvero x1 £ m £ xk
La somma degli scarti della media è sempre uguale a 0, ovvero Si (xi - m)=0
La media di una trasformazione lineare Y=a+b X è pari a a +b m
La media aritmetica è quel valore che minimizza la somma dei quadrati degli scarti, ovvero per qualsiasi valore d, si ha Si (xi-m)2£ Si (xi -d).2
Modificando la funzione criterio si ottengono altre medie.
La media geometrica
Se tutte le modalità osservate sono positive, possiamo definire la funzione prodotto (invece della somma) e ottenere, secondo il criterio di Chisini,
Pi xi = Pi M =Mn
da cui
M= (Pi xi)1/n
M rappresenta il valore che, sostituito ai singoli valori, mantiene inalterato il prodotto secondo il principio di Chisini.
La media geometrica spesso si indica col simbolo G.
Se la distribuzione è organizzata in frequenze la formula diventa:
G= Pi xi1/n = Pi xif
ovvero media geometrica ponderata.
Es. Si ha un capitale iniziale unitario depositato in banca. Se nel corso di n anni i tassi di interesse sono pari a i1, i2,…, in come si calcola il tasso medio?
Il tasso medio è quello che, costante per n anni, garantirebbe lo stesso ricavo.
Ricavo: 1x(1+i1)x(1+i2)x…x(1+in)=(1+I)n
da cui
I= [Pi (1+ii)]1/n-1
In genere la media geometrica risulta diversa da quella aritmetica ma mai di molto.
La media armonica
Quando la funzione criterio è la somma dei reciproci, ovvero
f(x1, x2,…, xn)=Si (1/xi )
si ottiene
f(x1, x2,…, xn)=Si (1/xi )= Si (1/M) = n/ M
da cui
M= n / (Si (1/xi )
Tale media si chiama armonica e si indica con A.
Se la distribuzione è organizzata per frequenze si ha
A = (Si ni)/ (Si (ni /xi )) = 1 / (Si (fi /xi )).
Es. Una automobile percorre n tratti di strada differenti di lunghezze
s1, s2, … , sn
con tempi di percorrenza
t1, t2, … , tn
Come si calcola la velocità media?
E' quella che, mantenuta costante per tutto il percorso, garantirebbe lo stesso tempo complessivo.
Il tempo complessivo effettivo è stato t1+ t2 +…+ tn. Quello che si otterrebbe con una velocità costante è
s1/v + s2/v +…+ sn/v= (s1+ s2 +…+ sn)/v
da cui
v=(s1+ s2 +…+ sn)/( t1+ t2 +…+ tn)
L'ultima formula si può leggere in due modi diversi
Essendo ogni si = vi ti
v= S (vi ti)/ S ( ti)
cioè media aritmetica delle velocità ponderate con i tempi.
Essendo ogni ti=si /vi
v= S si / S ( si/vi)
cioè media armonica delle velocità ponderate con gli spazi.
Se i caratteri sono continui, per poter calcolare una media relativamente ad un collettivo di unità, occorre diminuire il numero di modalità possibili attraverso una riduzione in classi e poi considerare il valore centrale della classe come valore rappresentativo.
METODOLOGIA:
Lezioni di tipo frontale, al fine di fornire con gradualità gli elementi teorici fondamentali in modo rigoroso;
L'approccio deve essere interattivo, il docente infatti deve spronare i ragazzi a ragionare aiutandoli così a sviluppare le loro capacità logico deduttive;
Dopo l'introduzione delle formule teoriche, segue lo svolgimento di alcuni esercizi alla lavagna per chiarire agli studenti eventuali dubbi; gli esercizi proposti devono assumere un ruolo importante per l'acquisizione e il consolidamento dei concetti presentati;
Importante è altresì lo svolgimento di esercitazioni individuali o a gruppi; la costituzione dei gruppi da parte dell'insegnante avviene nell'ottica di equilibrio di gruppo, favorendo in questo modo lo scambio d'informazioni e la cooperazione fra gli studenti che saranno stimolati ad aiutarsi a vicenda colmando le eventuali lacune;
A conclusione dell' Unità Didattica, viene svolta una verifica sommativa sugli argomenti trattati, costituita da esercizi e problemi di varia difficoltà al fine di verificare l'avvenuta comprensione dell'argomento trattato ed il raggiungimento degli obiettivi specifici previsti.
STRUMENTI DIDATTICI:
lezione frontale ed interattiva;
libro di testo;
lavagna e gessetto;
foglio elettronico Excel.
APPROFONDIMENTO:
L'approfondimento è svolto in laboratorio d'informatica prima della verifica sommativa.
L'uso del foglio elettronico permette di approfondire e ripassare i concetti appresi esercitandosi con l'ausilio dello strumento informatico in modo da avere una padronanza completa del modo di procedere con lo sviluppo dell'argomento proposto.
VALUTAZIONE:
La valutazione individuale degli allievi, sarà effettuata lungo tutto il percorso e terrà conto non solo del raggiungimento degli obiettivi specifici fissati ma anche della partecipazione e dell'impegno dimostrati, dalla padronanza dei contenuti e di una adeguata capacità comunicativa, secondo i criteri riportati nella tabella seguente:
Inadempienza sistematica | Voto 2 | Lo studente per quanto sollecitato non offre alcuna disponibilità all'apprendimento, mostrando un disimpegno sistematico e la mancanza delle nozioni di base. |
Carenza strutturale | Voto 3 | Lo studente mostra lacune insormontabili, tali da impedire l'apprendimento delle nozioni, insieme a disimpegno sistematico e/o gravi difficoltà di comprensione ed espressive. |
Gravemente insufficiente | Voto 4 | Lo studente presenta gravi lacune, anche pregresse, nella conoscenza degli elementi fondamentali delle discipline e gravi difficolta' di comprensione ed espressione. |
Insufficiente | Voto 5 | Gli obiettivi di conoscenza e competenza richiesti sono in via di acquisizione, anche se permangono lacune di fondo nelle conoscenze e/o applicazione delle regole e/o nell' esposizione. |
Sufficiente | Voto 6 | Lo studente è in grado di comprendere testi proposti e problemi, conosce i contenuti fondamentali anche se non sa rielaborarli e riesce ad orientarsi nell'applicazione e nel confronto di concetti, esprimendosi con accettabile correttezza. |
Discreto | Voto 7 | Lo studente ha una conoscenza chiara degli elementi fondamentali delle discipline ed è in grado di operare semplici collegamenti fra gli argomenti disciplinari. Utilizza un linguaggio corretto ed appropriato. |
Buono | Voto 8 | Lo studente presenta una conoscenza organica ed approfondita degli argomenti; possiede capacità di analisi e sintesi. Utilizza con proprietà il lessico disciplinare. |
Ottimo | Voto 9 | Lo studente ha raggiunto una sicura padronanza degli obiettivi relativi a conoscenze e competenze. L'espressione risulta efficace e brillante, l'esecuzione delle prove rigorosa. Mostra la capacità di cogliere lo spessore problematico e teorico delle tematiche affrontate. |
Eccellente | Voto 10 | Apprezzabili elementi di originalità e genialità motivano l'eccellenza. |
EVENTUALI ATTIVITA' DI SOSTEGNO E RECUPERO:
Viene svolta dopo la verifica sommativa, se dalla correzione risultano gravi insufficienze.
La classe viene suddivisa in due gruppi.
Al gruppo che non deve recuperare, si assegnano ulteriori esercizi di difficoltà medio alta.
Il secondo gruppo, costituito da coloro che non hanno conseguito la sufficienza nella verifica, si esercita con l'aiuto dell'insegnante. Ai ragazzi si assegnano esercizi di bassa e media difficoltà in cui si applicano i concetti fondamentali consentendone così il ripasso ed ulteriori spiegazioni/chiarificazioni da parte dell'insegnante.
VERIFICA SOMMATIVA dell'U.D.
1)Calcolare la media aritmetica dei seguenti numeri: 6, 11, 23, 38, 51, 63 e verificare che:
- la media aritmetica degli scarti dalla media è zero;
- la somma del quadrato degli scarti dalla media è minore della somma del quadrato degli scarti da un qualunque numero scelto a piacere.
2)Calcolare la media aritmetica dei seguenti numeri: 15, 18, 22, 30, 41 con i relativi pesi: 5, 8, 6, 2, 9 e verificare che:
- la media aritmetica ponderata degli scarti dalla media è zero;
- la media aritmetica ponderata del quadrato degli scarti dalla media è minore della media aritmetica ponderata (con gli stessi pesi) del quadrato degli scarti da qualunque altro numero scelto a piacere.
3)Calcolare l'età media delle 600 autovetture usate vendute in un salone nel 1998, conoscendo la seguente distribuzione delle autovetture secondo la data di immatricolazione:
Anno di immat. | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 |
No autovett. | 5 | 12 | 18 | 34 | 85 | 166 | 280 |
Ha significato il calcolo della media aritmetica? Perché?
4)Calcolare la media delle temperature rilevate nelle varie ore della giornata, secondo la tabella seguente:
Ore | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
Temper. | 12 | 14 | 18 | 24 | 28 | 31 | 30
|
Si deve fare la media aritmetica semplice o ponderata? Perché?
5) Un prodotto ha registrato i seguenti aumenti di costo: nel primo anno 11%, nel secondo 9,50%, nel terzo 8,75%, nel quarto 10,20%, nel quinto 6,80%. Calcolare l'aumento medio percentuale nei 5 anni. (Si calcoli la media geometrica dei numeri 1,11; 1,095; 1,0875; 1,102; 1,06
GRIGLIA DI VALUTAZIONE
In questo caso saranno assegnati 10 punti ad ogni esercizio, distribuiti tra i vari descrittori nel modo seguente:
Descrittori | Punti |
Interpretazione dati | 1 |
Individuazione e conoscenza delle formule necessarie alla risoluzione dei quesiti | 2 |
Saper utilizzare le conoscenze possedute in base ai contenuti del testo | 3 |
Scelta delle strategie con il minor numero di passaggi, per arrivare al risultato richiesto | 2 |
Correttezza dei calcoli | 2 |
Totale | 10 |
Procediamo con la risoluzione del secondo quesito mostrando come calcolare la media dei due indici precedentemente calcolati, affinchè la superficie totale rimanga invariata:
Infine calcoliamo la media di Chisini, andando a sostituire il valore di M al posto degli indici precedentemente trovati:
